树状数组

在处理一些关于区间模型的问题时，常常会遇到处理前缀和（即从1到x的和）的问题。

这类问题常规解法有两种：

1、直接存储原数组，修改元素O(1)，取前缀和O(n)。

2、直接存储前缀和，修改元素O(n)，取前缀和O(1)。

但是如果当修改元素和取前缀和操作都比较大的时候，这两种方法就都不能用了。

怎么办呢？我们可以用另外一种解法：树状数组。

其修改元素和取前缀和的复杂度均为O(logn)。

如图所示，红色矩形表示的数组c[ ]就是树状数组。

这里，c[i] 表示 A[i-2^k+1] 到 A[i] 的和，而 k 是 i 在二进制表示下末尾0的个数。（我们可以利用位运算直接计算出2^k=i&-i）。

我们不难发现这个k就是这个节点在树中的高度，因而这个树的最大高度为logn。

1、对于修改操作，比如修改A[i]时，我们可以从c[i]往根节点（即往上）一路回溯，调整路上所遇到的c[ ]即可。

这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。

2、对于取前缀和操作，比如求sum(8)，(即A[1]~A[8]的和)，只需取 c[8] 的值就好了，因为c[8]保存的正是sum（A[1]~A[8]）。

又比如求sum(7)，就需要取 c[7]+c[6]+c[4] 的值，其中 c[7] = sum（A[7]）,c[6] = sum（A[5]~A[6]）,c[4] = sum（A[1]~A[4]）。

显然，这些子树的数目是n在二进制表示下1的个数，或者说是n用2的幂方和表示时的多项式的项数。

因此，求和操作的复杂度是O(logn)。

树状数组主要有两个应用：

1、插点问线。

例题：士兵杀敌2->http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=116

问题特点：对单点更新，对区间询问，此处树状数组储存的是前缀和。

 
#include <stdio.h>
int n,m,a,b,c[1000003];
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int loc,int val)
{
    while(loc<=n)
    {
        c[loc] += val;
        loc += lowbit(loc);
    }
}
int sum(int loc)
{
    int ans=0;
    while(loc>0)
    {
        ans += c[loc];
        loc -= lowbit(loc);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a);
        add(i,a);
    }
    char str[8];
    while(m--)
    {
        scanf("%s%d%d",str,&a,&b);
        if(str[0]=='A')
            add(a,b);
        else
            printf("%d\n",sum(b)-sum(a-1));
    }
    return 0;
}
        

2、插线问点。

例题：士兵杀敌4->http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=123

问题特点：对区间更新，对单点询问，此处树状数组储存的是单点的值。

 

#include <stdio.h>
int n,m,a,b,x,c[1000010];
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int loc,int val)
{
    if(loc==0)                      //数据中有bug,特殊处理下，大牛请无视
        loc = 1;
    while(loc<=n)
    {
        c[loc] += val;
        loc += lowbit(loc);
    }
}
int sum(int loc)
{
    int ans=0;
    while(loc>0)
    {
        ans += c[loc];
        loc -= lowbit(loc);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    char str[8];
    while(m--)
    {
        scanf("%s",str);
        if(str[0]=='A')
		{
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&x);
			add(a,x);
			add(b+1,-x);
		}
        else
		{
			scanf("%d",&x);
			printf("%d\n",sum(x));
		}
    }
    return 0;
}
        

Ps:关于树状数组，最重要的一点就是，一定要从1开始，不能从0开始，因为lowbit(0)=0，会出现死循环。